[선형대수학 개론] 1.1 Systems of Linear Equations

 

이 포스팅은 인프런 강의 - 선형대수학 개론(조범희)을 듣고 개인 공부를 위해 정리하는 글로, 잘못된 내용이 있을 수 있으니 이 점 참고 부탁 드립니다.

선형대수학개론 - 인프런 | 강의

 

 

그럼 포스팅 시작!

 

 

목차

 

 

Linear Equation

선형 방정식 (Linear Equation)은 다음과 같이 정의된다. 

 

 

A System of Linear Equations ( Linear System )

유한개의 선형방정식으로 이루어진 선형 방정식 계(System of Linear Equations) 또는 선형 시스템(Linear System) 은 두가지중 하나를 만족한다. 

 

Inconsistent :

• No solution  

Consistent :

• Exactly one solution 
• Infinitely many solutions 

다음 예시를 살펴보도록 하자. 

 

$$\begin{align} x_1-2x_2&=-1 \\ -x_1+2x_2&=3 \end{align}$$

 

Inconsistent (no solution)

$$\begin{aligned} x_1-2x_2&=-1 \\ -x_1+3x_2&=3 \end{aligned}$$

 

Consistent (exactly one solution)

$$\begin{aligned} x_1-2x_2&=-1 \\ -x_1+2x_2&=1 \end{aligned}$$

 

Consistent (infinitely many soluitions)

Solution Set

Solution set은 선형 시스템에서 모든 가능한 해의 집합을 의미한다.

 

Equivalent 

 두 선형 시스템이 같은 solution set을 갖고 있다면 두 선형 시스템은 상등(equivalent)하다고 한다.

 

Matrix notation

선형시스템의 행렬 표기법 아래와 같이 정의한다.

 

$$\begin{cases}\begin{aligned} x_1-2&x_2+x_3=0\\ 2&x_2-8x_3=8\\ -4x_1+5&x_2+9x_3=-9\\ \end{aligned}\end{cases}$$

• Coefficient Matrix 

$$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 2 & -8 \\ -4 & 5 & 9 \end{bmatrix}$$

• Augmented Matrix

$$\begin{aligned} &\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{array}\right]\\\\ or\\\\ &\begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -8 & 8\\ -4 & 5 & 9 & -9 \end{bmatrix} \end{aligned}$$

 

Elementary Row Operations

기본 행 연산(Elementary Row Operation) 은 다음과 같이 정의 된다. 

• Replacement : Replace a row by any multiple of another row added to it
• Interchange : Switch two rows
• Scaling : Multiply a row by a nonzero number

즉,

$i$번째 행에 상수 $c$ 를 곱한뒤 $j$번째 행에 더하거나 (Replacement),

$i$번째 행과 $j$번째 행을 서로 교환하거나(Interchange),

$i$번째 행에 $0$이 아닌 상수$c$를 곱하는(Scaling) 연산으로 이해할 수 있다. 

 

다음 예시를 통해 알아보도록 하자. 

 

• Ex1) Solve the following system of linear equations 

$$\begin{cases}\begin{aligned} x_1-2&x_2+x_3=0 \\ 2&x_2-8x_3=8 \\ -4x_1+5&x_2+9x_3=-9 \end{aligned}\end{cases}$$

 

• Sol)

 

 

 

• Ex2) Solve the following system of linear equations

$$\begin{aligned} x_2-4x_3&=8 \\ 2x_1-3x_2+2x_3&=1 \\ 5x_1-8x_2+7x_3 &=1 \end{aligned}$$

 

• Sol)

 

Row Equivalent

행렬 A가 기본 행 연산을 통해서 새로운 행렬 B로 표현될 수 있다면 행-상등(Row Equivalent) 하다고 한다.

• We say two matrices are row equivalent if there is a sequence of elementray row operations that transforms one matrix into the other

또한, 선형 시스템의  두개의 augmented matrices 가 행-상등 하다면 같은 해집합을 가진다.

• if the augmented matrices of two linear systems are row equivalent , then the two systems have the same solution set

 

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이번 포스팅은 선형대수학 이해를 위한 기본적인 notation과 정의를 알아봤다. 

 

다음 포스팅은 선형 시스템의 해집합을 조금 더 쉽게 찾기 위한 내용이다. 

 

 

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