[선형대수학 개론] 1.4 The Matrix Equation

이 포스팅은 인프런 강의 - 선형대수학 개론(조범희)을 듣고 개인 공부를 위해 정리하는 글로, 잘못된 내용이 있을 수 있으니 이 점 참고 부탁 드립니다.

선형대수학개론 - 인프런 | 강의

 
2023.04.16 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.3 Vector Equation 에서는 기본적인 벡터 연산과 너무나도 중요한 개념인 Linear Combination 과 Span에 대해 알아봤습니다. 이번 포스팅에서는 행렬방정식(Matrix Equation), $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$에 대해 살펴보겠습니다. 

[선형대수학 개론] 1.3 Vector Equation

 
그럼 포스팅 시작!!!

목차

The Matrix Equation 

행렬방정식 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 에 익숙해지기 위해서 정의와 예제를  살펴보도록 하자. 

The Product of Matrix and Vector 

matrix $A$와 vector $\mathbf{x}$의 곱 $A\mathbf{x}$ 은 다음과 같이 정의할 수 있다. 
 
For $A_{m\times n}$ with columns $\mathbf{a_1}, \cdots,\mathbf{a_n}$ and $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, 
$$A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1  \ \mathbf{a}_2 \ \cdots \ \mathbf{a}_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}$$
 

$\Rightarrow$$A\mathbf{x}$  is the linear combination of the columns of $A$ using the corresponding entries in $\mathbf{x}$ as weights

 

Example

• Matrix Equation

• Vector Equation to Matrix Equation

• System of Linear equations to Matrix Equation

More Efficient Way to Compute Matrix Equation

Compute Matrix Equation

행렬방정식을 풀어쓰지 않고 효율적으로 계산하는 방법은 위와 같다.  즉, $i,1$번째 entry  $b_{i1}$는 $A$의 $i$번째 row 와 $\mathbf{x}$ 내적으로 표현된다.

Example

Theorems

[Theorem 3]

For $A_{m\times n}$, with columns $\mathbf{a_1,\cdots,a_n}$ and $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$, 
  1. Matrix equation ($A\mathbf{x=b}$)
  2. Vector equation ($x_1\mathbf{a_1}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}=\mathbf{b}$)
  3. Augmented matrix ($\begin{bmatrix}\mathbf{a_1 \ a_2 \ \cdots \ a_n \ b}\end{bmatrix}$)
have the same solution set

• 이는 선형시스템을 각 다른 3개의 관점으로 표현가능함을 의미한다.

[Theorem 4]★★★

For $A_{m\times n}$ (not augmented matrix, i.e., A is a coefficient matrix), with columns $\mathbf{a_1,\cdots,a_n}$ and $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$, 
the followings are all true or all false ;
  a. For each $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$, $A\mathbf{x=b}$ has a solution.
  b. Each $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$ is a linear combination of the colums of $A$.
  c. The columns of $A$ span $\mathbb{R}^m$.
  d. $A$ has a pivot position in every row. 

• 주의해야할 것은 A가 augmented matrix 가 아닌 coefficient matrix 라는 점이다.  만약 augmented matrix $\begin{bmatrix} A \ \mathbf{b} \end{bmatrix}$ 가 pivot position 을 모든 행에서 가진다면, 행렬방정식 $A\mathbf{x=b}$ 는 inconsistent 한 경우가 생긴다. ( $\mathbf{b}$ 가 pivot position 인 경우)
• 주목해야할 것은 a와 d의 동치여부인데, (a)가 참인것의 의미를 이해한다면 쉽게 파악할 수 있다. 이를 이해하기 위해서 2023.02.15 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.2 Row Reduction and Echelon Forms에서 공부했던[Theorem 2] Existence and Uniqueness Theorem을 상기시키면 (a)가 참이라는 것은 $\mathbf{b}$가 0이 아닌 $\begin{bmatrix} 0 \ \cdots 0 \ b\end{bmatrix}$  행이 없는 것을 의미한다. 즉, coefficient matrix $A$가 row reduced 됐을 때, 원소가 모두 0으로 이뤄진 행이 없음을 의미(=최소한 하나의 nonzero 를 원소로 갖는 행들로 이뤄졌음을 의미)한다. 그 이유는 만약 coefficient matrix $A$가  원소가 모두 0으로 이뤄진 행을 가지고 있다면 $b$가 nonzero 인 경우 $A\mathbf{x=b}$는 inconsistent 하고, 이는 $A\mathbf{x=b}$ 가 모든 $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^m$ 에 대해 솔루션을 가지는 것은 아니기 때문이다. 

[Theorem 5]

If $A_{m\times n}$, $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}\in\mathbb{R}^n$, and $c$ is scalar,then ;  
  1. $A(\mathbf{u+v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}$
  2. $A(c\mathbf{u})=cA\mathbf{u}$

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이번 포스팅은 행렬방정식에 대해 살펴봤다. 다음 포스팅에서는 지금까지 배운 내용들을 바탕으로 선형시스템의 해집합(Solution Sets of Linear Systems)에 대해 살펴본다. 

 
 
 
 
 

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