[선형대수학 개론] 1.5 Solution Sets of Linear Systems

이 포스팅은 인프런 강의 - 선형대수학 개론(조범희)을 듣고 개인 공부를 위해 정리하는 글로, 잘못된 내용이 있을 수 있으니 이 점 참고 부탁 드립니다.

선형대수학개론 - 인프런 | 강의

 

2023.05.02 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.4 The Matrix Equation에서는 행렬방정식에 대해 알아봤습니다. 이번 포스팅에서는선형시스템의 해집합(Solution Sets of Linear Systems)에 대해 살펴보겠습니다.

[선형대수학 개론] 1.4 The Matrix Equation

 

그럼 포스팅 시작!!! 

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목차

 

 

Homogeneous Linear Systems 

행렬 $A_{m\times n}$, 영벡터 $\mathbf{0}\in\mathbf{R}^m$에 대해 다음과 같은 형태로 표현되는 선형 시스템은 homogeneous linear system 이라 한다.

$$A\mathbf{x=0}$$

 

이는 항상 최소한 하나의 솔루션 $\mathbf{x=0}\in\mathbf{R}^n$을 갖는데, trivial solution이라 한다.  그래서 우리가 관심을 가져야 할 것은 nontrivial solution, 즉 nonzero vector solution  $\mathbf{x}$ 를 찾는것이다.

2023.02.15 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.2 Row Reduction and Echelon Forms 에서 배운 [Theorem 2] The Existence and Uniqueness Theorem 을 이용하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다. 

The homogeneous equation $A\mathbb{x=0}$ has a nontrivial solution if and only if the equation has at least one free variable.

그 이유는

[Theorem2] The Existence and Uniqueness Theorem

선형 시스템이 consistent 하면 unique solution 이거나 infinitely many solutions 를 가지게 된다. 즉, trivial solution $\mathbf{x=0}\in\mathbf{R}^n$ 인 경우 unique solution을 가지게 됨을 의미하므로 nontrivial solution의  경우 at least one free variable를 가지게 된다.

 

이해를 돕기 위해 간단한 예제를 살펴보자. 

 

Ex1) Determine whether there is a nontrivial solution

Sol)

Ex2) Determine whether there is a nontrivial solution

Sol)

여기서 주목할 것은  $A\mathbf{x=0}$ 의 해집합은 항상 $\text{Span}\{\mathbf{v_1,\dots,v_p}\}$ 로 표현된다는 것이다.

• trivial solution 은 $\text{Span}\{\mathbf{0}\}$ 으로 표현된다.

예제를 통해 주목할것은 homogeneous system의 해집합은 항상 $\text{Span}\{\mathbf{v_1,\dots,v_p}\}$으로 표현(trivial solution 은 $\text{Span}\{\mathbf{0}\}$으로 표현)된다는 것이다. 만약 방정식 $A\mathbf{x=0}$ 가 예제1 처럼 free variable가 하나인 경우, 해 집합은 Figure 1 과 같은 원점을 지나는 직선이다. 예제2 처럼free variable 두 개 이상인 경우, Figure2 와 같은 원점을 지나는 평면으로 해 집합을 상상할 수 있다. 하지만 주의할 점은 $A\mathbf{x=0}$의 해로서 나타나지 않는 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$를 사용하여도 $\text{Span}\{\mathbf{u, v}\}$를 시각화하는 비슷한 도형을 사용할 수 있다는 것이다. 이는 2023.02.15 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.2 Row Reduction and Echelon Forms의 Figure 11을 참조하자.

Parametric Vector Form

벡터의 매개변수 방정식으로 표현된 형태를 parametric vector form 이라 한다.예제 1에서

$\mathbf{x} = x_3\mathbf{v}(x_3\text{ is free})$ 또는 $\mathbf{x}=t\mathbf{v}\ (t\in\mathbb{R})$는 a parametric vector form of a line,예제 2에서 $\mathbf{x} = s\mathbf{u}+t\mathbf{v}\ (s,t\in\mathbb{R})$는 a parametric vector form of a plane 이다.

따라서 벡터들로 명시적으로 설명된 해 집합이 있는 경우, 그 해는 parametric vector form으로 표현된다고 말한다.

Nonhomogeneous Linear Systems

행렬 $A_{m\times n}$, 영벡터 $\mathbf{0}\in\mathbf{R}^m$에 대해 다음과 같은 형태로 표현되는 선형 시스템은 nonhomogeneous linear system 이라 한다.

$$ A\mathbf{x}=\mathbf{b} $$

 

Ex) Describe all solutions of $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

$$ A= \begin{bmatrix} 3 & 5 & -4 \\ -3 & -2 & 4 \\ 6 & 1 & -8 \end{bmatrix}, \mathbf{b}=\begin{bmatrix} 7\\ -1\\ -4\\ \end{bmatrix}$$

Sol)

예제를 통해 알 수 있는 흥미로운 점은 다음 두가지다.

1. $\mathbf{v}$ 는 예제 1의 homogeneous solution 이고 $\mathbf{p}$ 는 nonhomogeous linear system의 particular solution 이다.
2. Figure 5에서도 알 수 있듯이 두 linear system은 parallel solution sets을 가진다.

이를 아래의 theorem에서 자세하게 살펴보도록 하자.

[Theorem 6] 

Suppose $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ is consistent and let $\mathbf{p}$ be a solution.
Then the solution set of $A\mathbf{x}={b}$ is the set of all vectors of the form $\mathbf{w}=\mathbf{p}+\mathbf{v_h}$ where $\mathbf{v_h}$ is any solution of the homogeneous equation $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$

이를 직관적으로 이해하기 위해 $\mathbb{R}^3$ 공간에서 살펴보면,

임의의 homogeneous solution $\mathbf{v}_h$ 와 nonhomogeneous linear system의  particular solution $\mathbf{p}$ 를 더한 임의의 벡터들은  평행한 평면 $\mathbf{w}$ 을 구성하고  이는 nonhomogeneous solution 라는 것을 알 수 있다.

 

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이번 포스팅에서는 선형시스템의 해집합을 알아봤다. 다음 포스팅은 너무나도 중요한 개념인 선형 독립(Linear Independence) 에 관한 내용이다.

 

 

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