[선형대수학 개론] 1.3 Vector Equation

이 포스팅은 인프런 강의 - 선형대수학 개론(조범희)을 듣고 개인 공부를 위해 정리하는 글로, 잘못된 내용이 있을 수 있으니 이 점 참고 부탁 드립니다.

선형대수학개론 - 인프런 | 강의

 

2023.02.15 - [수학/선형대수학] - [선형대수학 개론] 1.2 Row Reduction and Echelon Forms  에서는  선형시스템의 해를 찾기 위해 알아야할 기본정의에 대해 살펴봤다면, 이번 포스팅에서는 기본적인 벡터 연산과 너무나도 중요한 개념인 Linear Combination 과 Span  에 대해 살펴보겠습니다. 

[선형대수학 개론] 1.2 Row Reduction and Echelon Forms

 

그럼 포스팅 시작!!

 

 

목차

 

 

 

Vector

선형시스템의 중요한 속성은 벡터로 표현 될 수 있다.  벡터는 다음과 같이 row vector 또는 column vector 로 표현될 수 있으며, 일반적으로 column vector로 표현한다. 여기서부터는 column vector를 vector라 표현한다. 

 

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n (\text{column vector})$
$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \ u_2 \ \cdots \ u_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n (\text{row vector})$

 

만약 벡터의 모든 원소가 0이라면 영 벡터(zero vector) 라 한다.

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}=\mathbf{0}$

Vector Summation & Scalar Multiplication 

$\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1  \end{bmatrix}, \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3\end{bmatrix}, c = 5$

 

• Summation : $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.2 \\ -0.7 \end{bmatrix}$
• Scalar Multiplication : $ c \mathbf{u} = 5 \begin{bmatrix} 3 \\ - 1  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ -5  \end{bmatrix}$

Geometric Descriptions of Vector Operations in $\mathbb{R}^2$

$\mathbb{R}^2$ 에서의 벡터 연산을 기하학적 정의로 살펴보면 다음과 같다. 

Vector Summation

 

Scalar Multiplication

Algebraic Properties of Vectors 

For $\mathbf{u,v,w} \in \mathbb{R}^n  \text{and scalar } c,d $

1. $\mathbf{u+v = v+u }$
2. $\mathbf{(u+v)+w = u + (v+w)}$
3. $\mathbf{u+0 = 0+u = u}$
4. $\mathbf{u+(-u) = (-u)+u = 0}$
5. $c\mathbf{(u+v)} = c\mathbf{u}+c\mathbf{v}$
6. $(c+d)\mathbf{u}=c\mathbf{u}+d\mathbf{d}$
7. $c(d\mathbf{u}) = (cd)\mathbf{u}$
8. $\mathbf{1u=u}$

 

Linear Combinations and Span 

• 다음은 가중치(weight) $c_1,c_2,\dots,c_p$ 를 가진 $\mathbf{v_1,v_2,\dots,v_p}\in \mathbb{R}^n$ 의 선형 결합(Linear combination)이다. 

$\mathbf{y} = c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\cdots+c_p\mathbf{v_p}$

 

• $\text{Span}\{\mathbf{v_1,\dots,v_p}\}$ 은 다음 형태, 즉 선형결합으로 나타낼 수 있는 모든 벡터의 모음이다.

$c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\cdots+c_p\mathbf{v_p}$ 

 

다음 예제를 통해 개념을 확장해보면, 

Ex) Can $\mathbf{b}$ be generated as a linear combinations of $\mathbf{a_1}$ and $\mathbf{a_2}$ ?

$\mathbf{a_1}=\begin{bmatrix}1 \\ -2 \\ -5\end{bmatrix}, \mathbf{a_2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ -6 \end{bmatrix}, \mathbf{b}= \begin{bmatrix}7 \\ 4 \\ -3 \end{bmatrix} $

 

Sol)

Can $\mathbf{b}$ be generated as a linear combination of $\mathbf{v_1,v_2,\dots,v_p}$ ? 는 다음과 동치이다.

• = Does the following augmented matrix have a solution ?
• = A vector equation $c_1\mathbf{v_1}+c_2\mathbf{v_2}+\cdots+c_p\mathbf{v_p}=\mathbf{b}$ has the same solution set as the linear system whose augmented matrix is $\begin{bmatrix}\mathbf{v_1}\ \mathbf{v_2}\ \cdots \ \mathbf{b} \end{bmatrix}$
• = Is a vector $\mathbf{b}$ in Span $\{ \mathbf{v_1},\dots,\mathbf{v_n}\}$ ?

Geometric Descriptions of Span 

Span

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이번 포스팅에서는 기본적인 벡터연산과 앞으로 배울 내용들을 이해하기 위해 가장 중요한 개념인 선형결합(Linear combination) 과 Span을 알아봤다.

다음 포스팅은 행렬 방정식(Matrix equation) 에 관한 내용이다. 

 

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